Gheorghe Ţiţeica - Gazeta Matematică, nr. 3 din 1908

Rezolvarea în numere întregi a ecuaţii

Problema aceasta e veche şi rezolvată de mult. Soluţiuni parţiale, ca , , , sau , , , erau cunoscute şi întrebuinţate în practică de popoarele din antichitate odată cu primele începuturi de civilizaţie. (Vezi articolul Ultima teoremă a lui Fermat al D-lui. I. Ionescu, în Natura, Octomvrie 1908).

In articolul de faţă vreau să dau o metodă geometrică de a găsì toate soluţiunile, care e aşà de simplă şi intuitivă, încât fără să ştiu, poate, să fi fost cu toate acestea dată de cineva. Chiar dacă ar fi aşà nu e nici o pagubă pentru cititorii Gazetei.

1. Iată în ce consistă metoada. Să lăsăm la o parte soluţia , , ; atunci Z e diferit de zero şi putem împărţi toţi termeni cu Z². Atunci punând :

(1) ,

obţinem ecuaţia :

(2) ,

care, în raport cu două axe perpendiculare, reprezintă un cerc. La trei numere întregi care verifică ecuaţia dată corespunde, cu ajutorul formulelor (1), un punct al cercului (2) cu coordonate raţionale — adică fracţionare — sau cum vom zice mai scurt, un punct raţional. Invers, unui punct raţional de pe cercul (2) îi corespunde — precum vom vedeà de altfel mai de aproape la sfârşitul acestui articol — o soluţie în numere întregi a ecuaţii date.

Am redus prin urmare problema dată la căutarea punctelor raţionale aşezate pe cercul (2).

Găsirea tutulor acestor puncte se întemeiază pe observarea că e destul să cunoaştem un punct raţional al cercului, pentru ca să le putem aflà apoi pe toate. Intr’adevăr, orice alt punct raţional al cercului unit cu M₀ ne dă o dreaptă a cărei ecuaţie :

are coeficienţii raţionali, sau mai pe scurt, dreapta M₁M₀ e o dreaptă raţională. Prin urmare punctele raţionale ale cercului nu se pot găsì decât printre punctele de intersecţie ale cercului cu dreptele raţionale cari trec prin M₀. Vreau însă să arăt că toate aceste puncte de intersecţie sunt raţionale.

Pentru aceasta, fie

(3)

o dreaptă raţională arbitrară care trece prin M₀, în care deci m este număr raţional. Eliminând pe y între (3) şi (2) căpătăm o ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi raţionali şi care are ca rădăcini abscisele punctelor de intersecţie ale dreptei (3) cu cercul (2), prin urmare neapărat pe x₀ şi încă altă valoare tot raţională. Abscisa a punctului al doilea de intersecţie fiind raţională, rezultă din (3) că şi ordonata sa e raţională şi atunci punctul acela e raţional. Aşà dar, orice dreaptă raţională dusă prin punctul raţional cunoscut M₀ ne mai determină un punct raţional al cercului şi, după cum arătarăm, aşà se obţin toate.

Insă pe cercul (2) avem punctul raţional . Cu ajutorul lui putem să aflăm prin urmare toate punctele raţionale ale cercului. Dar înnainte de a da formulele explicite, să mai facem o observare. Din cauza simetrii, ne putem mulţumì să aflăm punctele raţionale din unghiul pozitiv al axelor, adică pentru care . Atunci, dacă însemnăm cu B punctul de coordonate , şi cu AT tangenta în A la cerc, dreapta raţională arbitrară pe care o ducem prin punctul A trebue să fie cuprinsă în unghiul ascuţit BAT şi prin urmare coeficientul unghiular m din ecuaţia (3) trebue să fie un număr raţional cuprins între şi . Putem pune în (3) :

, ,

în care numerele întregi p şi q sunt pozitive, prime între ele şi şi avem :

Introducând această valoare a lui y în (2) şi suprimând soluţia , care ne dă din nou punctul A, găsim :

şi din deducem :

Avem prin urmare rezultatul următor : Toate numerele raţionale şi pozitive cari verifică ecuaţia (2) sunt date de formulele :

, ,

în care p, q sunt numere întregi şi pozitive, prime între ele şi .

2. Acum, după ce am rezolvat problema ajutătoare, să ne întoarcem la problema noastră. Şi mai întâi o observare. E evident că dacă X, Y, Z sunt soluţii ale problemei, şi kX, kY, kZ vor fi soluţii, k fiind un număr întreg arbitrar. E natural prin urmare să ne ocupăm numai de acele soluţii în care X, Y, Z sunt prime între ele, adică nu au nici un divizor comun. Acele soluţii verifică, din cele ce preced, următoarele egalităţi :

(4)

în care p şi q satisfac condiţiunilor enunţate mai înnainte. De oarece X, Y, Z trebuesc să fie numere întregi şi pentrucă p şi q sunt numere întregi, rezultă că în (4) valoarea comună k a celor trei rapoarte egale este un număr raţional. Se poate pune evident , a şi b fiind două numere întregi prime între ele şi atunci din (4) scoatem :

, ,

şi b va trebuì ales aşà ca X, Y, Z să fie numere întregi prime între ele. Insă b e prim cu a, deci trebueşte să dividă pe , 2pq şi . Rezultă atunci că a este un divizor comun numerelor întregi X, Y, Z şi, potrivit unei observări făcute, îl putem lăsà la o parte. Aşà dar avem :

, , .

Numărul întreg b este sau 1 sau, de se poate, un divizor comun al numerelor , 2pq, . Acest divizor comun este un divizor comun şi numerelor , , deci nu poate fi, dacă este, decât 2, căci p şi q fiind prime între ele şi p² şi q² vor fi prime între ele. Aşa dar avem sau .

Când vom aveà şi când ? Vom aveà , dacă şi sunt numere cu soţ, căci 2pq se divide evident cu 2. Vom aveà , când unul din numerele şi va fi fără soţ. Insă, în privinţa numerelor p şi q putem face numai două ipoteze : sau sunt amândouă fără soţ, sau numai unul e fără soţ. Amândouă cu soţ nu pot fi, căci ar urmà să nu fie prime între ele. In primul caz, când p şi q sunt fără soţ, atunci şi sunt cu soţ şi deci luăm :