ANUL CXII nr. 7

iulie 2007

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

CU PRIVIRE LA UNELE APLICAŢII ALE GENERALIZĂRII TEOREMEI LUI LAGRANGE

de Victor M. Popa

În cele ce urmează se va folosi o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru demonstrarea unor inegalităţi. Voi demonstra, mai întâi, o generalizare a teoremei creşterilor finite.

Fie,,,,,,. Dacă:

1. f este continuă pe ,

2. f este derivabilă pe,

3. ,

atunci există, cel puţin, un punct cu, astfel încât:

.       (1)

Demonstraţie. Se consideră funcţia,. Cum este funcţie Rolle pe, k urmează a fi determinat astfel încât adică, de unde:

               (2)

Pentru această valoare a lui k, funcţia h verifică ipotezele teoremei lui Rolle. Atunci există cel puţin un punct astfel încât.

Cum rezultă de unde:

        (3)

Din (2) şi (3) rezultă:

  (4)

Cum dreapta AB are ecuaţia şi punctul, atunci de unde, relaţie care introdusă în (4) dă:

de unde

,

de unde:, adică:

, adică relaţia (1).

Interpretarea geometrică a generalizării teoremei lui Lagrange:

Dacă, satisface condiţiile 1., 2., 3., atunci există cel puţin un punct astfel încât tangenta la graficul funcţiei în punctul întâlneşte coarda AB în (fig. 1).

Observaţii.

1) Dacă, atunci tangenta în punctul la graficul funcţiei şi coarda AB se întâlnesc pe axa Oy (fig. 2) şi se obţine teorema lui D. Pompeiu prezentată într-o comunicare la Congresul al III-lea al matematicienilor români din anul 1945:

Fie,. Dacă:

a) f este continuă pe,               b) f este derivabilă pe,

atunci există cel puţin un punct astfel încât:

.       (5)

2) Dacă, atunci tangenta în punctul la graficul funcţiei şi coarda AB se întâlnesc pe axa Ox (fig. 3), adică şi relaţia (4) devine:

        (6)

Ca şi în cazul teoremei lui Lagrange se poate găsi un număr mare de inegalităţi care să aibă la bază această generalizare.

Dificultatea demonstrării acestora constă în găsirea funcţiei şi a punctului pe care le-a considerat propunătorul.

Exemple.

1. Dacă, atunci.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe.

Din (5) rezultă că există astfel încât:, de unde:.

Cum funcţia, este strict descrescătoare pe şi, rezultă:

,

de unde:

,

de unde, adică relaţia cerută.

2. Dacă, atunci.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe. Din (6) rezultă că există, astfel încât:

 adică.

Fie funcţia,,deci este strict descrescătoare pe intervalul. Cum rezultă:

.

3. Dacă, atunci.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe. Din (5) rezultă că există astfel încât.

Fie funcţia,,, deci este strict crescătoare pe intervalul.

Cum rezultă de unde:

,

adică tocmai relaţia cerută.

4. Fie,, atunci.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe.

Din (6) rezultă că există, astfel încât:

.

Fie funcţia,, care este strict crescătoare pe intervalul. Cum rezultă de unde:

,

adică relaţia cerută.

5. Dacă, atunci:

.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe intervalul. Din (5) rezultă că există, astfel încât:

.

Fie funcţia,, deci este strict descrescătoare pe intervalul. Avem:

,

adică relaţia cerută.

6. Dacă, atunci.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe intervalul. Din (6) rezultă că există, astfel încât:

, adică.

Fie funcţia,,, deci este strict descrescătoare pe intervalul. Avem:

, adică relaţia cerută.

7. Dacă, atunci:

.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe intervalul. Din (5) rezultă că există astfel încât:

.

Fie funcţia,. Cum, atunci este strict crescătoare pe intervalul. Avem:

,

adică relaţia cerută.

8. Dacă, atunci.

Soluţie. Fie,, care este funcţie Rolle pe intervalul. Din (6) rezultă că există  astfel încât:

.

Fie funcţia,. Cum, atunci este strict descrescătoare pe intervalul. Avem:

,

adică relaţia cerută.

9. Dacă, atunci:.

Soluţie. Fie, care este funcţie Rolle pe intervalul. Din (6) rezultă că există astfel încât:

.

Fie funcţia,,. Cum este strict descrescătoare pe şi, avem:

,

adică relaţia cerută.

Bibliografie

[1] C. Avădanei, N. Avădanei, C. Borş, C. Ciurea, De la matematica elementară spre matematica superioară, Editura Academiei, Bucureşti, 1987.

[2] V. Nicula, Analiza matematică, Editura Teora, Bucureşti, 1997.

[3] Gh. Sireţchi, Calcul diferenţial şi integral, vol. I, II, Editura ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985.

Profesor,

Colegiul Tehnic „Dimitrie Dima“,

Piteşti