Ştiri
Fiţi propunători!
Trimiteţi propunerile dvs. de probleme şi articole pentru Gazeta Matematică
Autentificare
Opinia ta despre Gazeta Matematică
Părerea ta despre Gazetă va apărea pe prima pagină, alături de opiniile marilor nume ale matematicii româneşti.
Meniu
Rez
Rezolvarea propusă:
Sa urmarim algoritmul de extragere al zecimalelor (algoritmul impartirii cu rest)
Pentru aflarea urmatoarei zecimale,Z2, restul R1 obtinut la o prima iteratie este inmultit cu 10
iar rezultatul impartit la numitorul N al fractiei.
Zecimala urmatoare este:
Z2 = [10·R1 /N]
iar restul reintrodus este :
R2 = 10·R1 - Z2·N
Cum numitorul fractiei ramane constant pe tot parcursul procesului, toate resturile reintroduse
folosite in proces apartin clasei sale de resturi. Mai observam ca, din moment ce singurul
factor ne-constant al procesului este chiar restul reintrodus, in momentul in care un rest
reintrodus se repeta, intreg procesul devine periodic.
Asadar numarul de termeni ai clasei de resturi al numitorului reprezinta numarul maxim de pasi
ne-ciclici ai algoritmului si deci si numarul maxim de zecimale ne-periodice.
Numarul de termeni ai clasei de resturi pentru un numar oarecare N este egal cu numarul insusi
(incluzand si numarul 0 care da zecimala 0-omisain scrierea curenta).
Concluzionam astfel ca numarul de zecimale ne-periodice ale unei fractii de numere intregi este
tot timpul mai mic decat numitorul fractiei.