GAZETA MATEMATICĂ

REVISTĂ DE CULTURĂ MATEMATICĂ PENTRU TINERET

SERIA B

Fondată în anul 1895

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

O DEMONSTRAŢIE SIMPLĂ A INEGALITĂŢII MEDIILOR

de Constantin P. Niculescu şi Florin Popovici

Inegalitatea mediilor afirmă faptul că dacă sunt numere nenegative, atunci:

egalitatea având loc doar în cazul când .

Fixând , orice număr nenegativ a se poate scrie în mod unic sub forma xⁿ cu ; nu este altcineva decât radicalul de ordinul n al lui a. Ca atare, inegalitatea mediilor se poate reformula astfel:

pentru orice familie de numere nenegative, egalitatea având loc doar atunci când .

Vom indica în continuare o demonstraţie a inegalităţii mediilor în forma . Prima demonstraţie se bazează pe următoarea observaţie:

Lema 1. Are loc inegalitatea:

,

pentru orice şi orice (egalitatea având loc numai pentru ).

Demonstraţie. Într-adevăr:

ultima paranteză dreaptă fiind strict pozitivă.

Substituţia în Lema 1 conduce la următorul rezultat:

Corolarul 1. Avem:

,

pentru orice şi orice (egalitatea având loc numai dacă ).

Inegalitatea rezultă acum prin inducţie matematică.

Cazul este banal. Presupunând că inegalitatea are loc pentru toate familiile de numere nenegative, de lungime n, să considerăm o familie , de numere nenegative, de lungime . Dacă cel puţin unul dintre numerele x_k este nul atunci inegalitatea corespunzătoare este banală. Considerăm cazul când toate numerele x_k sunt strict pozitive. Atunci:

,

potrivit ipotezei de inducţie şi Corolarului 1. Analiza cazului de egalitate ne arată că acesta are loc dacă şi numai dacă toate numerele x_k sunt egale.

Corolarul 1 a fost utilizat la finalul demonstraţiei de mai sus pentru a demonstra inegalitatea:

,

cu observaţia că egalitatea are loc numai dacă toate numerele x_k sunt egale. Aceasta însă mai poate fi argumentată şi cu ajutorul inegalităţii lui Cebîşev. Într-adevăr, din motive de invarianţă la permutări, putem presupune că şi atunci , deci ne aflăm în cazul de aplicabilitate a inegalităţii lui Cebîşev pentru familii de monotonie opusă.

Ideea de a folosi inegalitatea lui Cebîşev pentru a demonstra inegalitatea mediilor nu este complet nouă. Ea apare şi în articolul [4], dar abordarea noastră este mai simplă. Alte demonstraţii ale acestei celebre inegalităţi mai pot fi găsite în paginile Gazetei Matematice, ca şi în numeroase alte reviste şi monografii (de exemplu, [1]).

Să reamintim în încheiere faptul că inegalitatea mediilor nu este altceva decât o reflectare a proprietăţii de convexitate strictă a funcţiei exponenţiale e^x (sau de concavitate strictă a funcţiei logaritm ln). Aceste proprietăţi se traduc în inegalităţi cu ponderi ale mediilor, mai generale decât sau :

, (R)

pentru orice familie de numere nenegative, nu toate egale, şi orice familie de numere strict pozitive, cu suma 1. Trecerea de la cazul al inegalităţii (R) la cazul general este astfel asigurat de inegalitatea lui Jensen. Cititorii vor putea demonstra cu uşurinţă cazul folosind calculul diferenţial (considerând pe drept parametri şi pe x₁ drept variabilă).

Inegalitatea (R) a fost descoperită de L. J. Rogers [3]. Istoricul acestei priorităţi este prezentat în articolul matematicianului suedez L. Maligranda [2].

Bibliografie

[1] P. S. Bullen, D. S. Mitrinović and P. M. Vasić, Means and Their Inequalities, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland, 1988.

[2] L. Maligranda, Why Hölder’s inequality should be called Rogers’ inequality?, Math. Inequal. Appl., 1 (1998), 69-83.

[3] L. J. Rogers, An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of Math., 17 (1888), 145-150.

[4] N. T. Schaumberger and L. Kabak, Another proof of the arithmetic geometric mean inequality, Pi Mu Epsilon J., 6 (1977), 352-354.