Fie H ortocentrul triunghiului ABC si P mijlocul laturii BC. De asemenea, fie A' punctul diametral opus lui A in cercul circumscris triunghiului ABC. Rezulta imediat ca BHCA' este paralelogram, de unde obtinem ca H, P, A' sunt coliniare. In triunghiul A'AH, [OP] este linie mijlocie si deducem ca 2d_a=HA. Analog, avem 2d_b=HB, 2d_c=HC; relatia care trebuie demonstrata se scrie acum echivalent HA²+HB²+HC²=4R²-HA·HB·HC/4R. In continuare, tot din faptul ca BHCA' este paralelogram, obtinem ca HB=CA'. Consecutiv, din triunghiul dreptunghic CAA' avem HB=2Rcos B. Analog, HC=2Rcos C, HA=2Rcos A si relatia de demonstrat se scrie echivalent cos²A+cos²B+cos²C=1-2coaAcosBcosC. Aceasta din urma este evidenta daca tinem cont ca in triunghiul ABC este verificata identitatea cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. Solutia este incheiata.

Marius Damian

Comentariul personal