Ştiri
Fiţi propunători!
Trimiteţi propunerile dvs. de probleme şi articole pentru Gazeta Matematică
Autentificare
Opinia ta despre Gazeta Matematică
Părerea ta despre Gazetă va apărea pe prima pagină, alături de opiniile marilor nume ale matematicii româneşti.
Meniu
Rez
Rezolvarea propusă:
Demonstratie:
Se stie ca polinomul
X3-Tr(A)X2+Tr(A*)X-det(A)
are ca radacini valorile proprii ale matricei A.
(in plus, A verifica ecuatia X3-Tr(A)X2+Tr(A*)X-det(A)=0).
Fie a,b,c valorile proprii ale matricei A.
Din relatiile lui Viete rezulta ca
a+b+c=Tr(A)
ab+ac+bc=Tr(A*) si
abc=det(A).
Relatie din ipoteza este echivalenta cu (a+b+c)(ab+ac+bc)=abc, de unde rezulta ca (a+b)(a+c)(b+c)=0.
Deci, a=-b. (Celelalte cazuri sun identice).
atunci (a+b+c)n=an+bn+cn=cn oricare n impar.
Cum (a+b+c)n=Trn(A) si an+bn+cn=Tr(An), rezulta concluzia.
(Valorile proprii ale matricei An sunt an , bn, si cn).