O GENERALIZARE A INEGALITĂŢII LUI WILKER

de Maria Elena Panaitopol

În 1989 J.B. Wilker [3] a enunţat:

Propoziţia 1. Avem inegalitatea:

, pentru .

Inegalitatea a fost demonstrată de J.S. Sumner [2], B.N. Guo [1] şi recent de Ling Zhu [4].

Vom generaliza enunţul lui Wilker în:

Propoziţia 2. Dacă şi , avem:

, pentru .

Demonstraţie. Se cunosc şi se demonstrează uşor inegalităţile:

, pentru ;

, pentru .

Rezultă:

şi .

Notând rămâne de arătat că:

.

Avem:

,

deci funcţia f este strict crescătoare. Cum , rezultă că şi demonstraţia este încheiată.

Pentru şi se obţine inegalitatea lui Wilker.

Bibliografie

[1] B. N. Guo, B. M. Qiao, F. Qi and W. Li, On new proof of Wilker’s inequalities involving trigonometric functions, Mathematical Inequalities and Applications, 6, 1 (2003), 19-22.

[2] J. S. Sumner, A. A. Jeger, M. Vowe and J. Anglesio, Inequalities involving trigonometric functions, American Math. Monthly, 98. 3 (1991), 19-22.

[3] J. B. Wilker, E 3306, The American Mathematical Monthly, 96. 1 (1989), 55.

[4] Ling Zhu, Mathematical Inequalities and Applications, 8, 4 (2005), 749-750.

Profesoară

Colegiul Naţional „Spiru Haret“

Bucureşti