NOI IDENTITĂŢI TRIGONOMETRICE

de Vasile Berghea

În articolul „Unele identităţi trigonometrice“ din G.M. nr. 7/2005 am arătat că:

, . (1)

Analizăm această identitate pentru n număr impar. Avem şi deci (1) capătă forma . Împărţim factorii produsului în două grupe astfel: . În al doilea produs facem schimbarea de variabilă şi vom avea succesiv: sau

. Al doilea produs are factori, deci:

.

Înmulţim cu şi separăm ultimul factor din primul produs. Vom obţine:

, (2)

care este rezultatul căutat.

Pentru n par, vom folosi inducţia matematică şi arătăm că:

. (3)

Dacă avem de verificat egalitatea . Întrucât , rezultatul se obţine imediat.

Presupunem egalitatea adevărată pentru toate valorile mai mici ca n.

Analizăm mai întâi cazul . Grupând factorii de rang par şi factorii de rang impar, identitatea de demonstrat se poate scrie:

. (4)

În ambele produse avem număr par de factori şi aplicând fiecăruia ipoteza de inducţie găsim , care se verifică uşor, având în vedere că şi .

În cazul numărul factorilor din cele două produse din (4) este adică impar şi în ipoteza inducţiei trebuie să folosim identitatea demonstrată pentru n impar. Deci (4) devine , care se demonstrează imediat deoarece în acest caz şi . În (2) şi (3) înlocuim cu nx şi obţinem două identităţi remarcabile:

, , n impar, (2')

respectiv:

, , n par. (3')

Este cunoscut (vezi articolul amintit mai sus) că:

, , .

Împărţind această egalitate cu (2'), respectiv (3') se obţin noi identităţi interesante:

, , n impar, (5)

şi:

, , n par. (5)

Relaţii analoage pot fi scrise şi pentru funcţia cotangentă.

Profesor,

Liceul „Gh. Lazăr“, Avrig

Sibiu