Articole interesante din Gazeta Matematică

Dacă astazi România înregistrează perfomanţă în matematică este pentru că şcoala de matematică românească se sprijină pe umerii acestor uriaşi.

Vă prezentăm în această secţiune cele mai interesante articole matematice care au făcut istorie de-a lungul timpului în Gazeta Matematică.

Dacă aţi descoperit articole şi credeţi că sunt de un interes mai larg, vă invităm să ne semnalaţi acest lucru trimiţându-ne numele articolelor, numărul Gazetei, anul în care au aparut. Administratorul siteului va hotarî dacă acestea vor fi publicate.

Gheorghe Ţiţeica - Gazeta Matematică, nr. 3 din 1908

Rezolvarea în numere întregi a ecuaţii

Problema aceasta e veche şi rezolvată de mult. Soluţiuni parţiale, ca , , , sau , , , erau cunoscute şi întrebuinţate în practică de popoarele din antichitate odată cu primele începuturi de civilizaţie. (Vezi articolul Ultima teoremă a lui Fermat al D-lui. I. Ionescu, în Natura, Octomvrie 1908).

In articolul de faţă vreau să dau o metodă geometrică de a găsì toate soluţiunile, care e aşà de simplă şi intuitivă, încât fără să ştiu, poate, să fi fost cu toate acestea dată de cineva. Chiar dacă ar fi aşà nu e nici o pagubă pentru cititorii Gazetei.

1. Iată în ce consistă metoada. Să lăsăm la o parte soluţia , , ; atunci Z e diferit de zero şi putem împărţi toţi termeni cu Z². Atunci punând :

(1) ,

obţinem ecuaţia :

(2) ,

care, în raport cu două axe perpendiculare, reprezintă un cerc. La trei numere întregi care verifică ecuaţia dată corespunde, cu ajutorul formulelor (1), un punct al cercului (2) cu coordonate raţionale — adică fracţionare — sau cum vom zice mai scurt, un punct raţional. Invers, unui punct raţional de pe cercul (2) îi corespunde — precum vom vedeà de altfel mai de aproape la sfârşitul acestui articol — o soluţie în numere întregi a ecuaţii date.

Am redus prin urmare problema dată la căutarea punctelor raţionale aşezate pe cercul (2).

Găsirea tutulor acestor puncte se întemeiază pe observarea că e destul să cunoaştem un punct raţional al cercului, pentru ca să le putem aflà apoi pe toate. Intr’adevăr, orice alt punct raţional al cercului unit cu M₀ ne dă o dreaptă a cărei ecuaţie :

are coeficienţii raţionali, sau mai pe scurt, dreapta M₁M₀ e o dreaptă raţională. Prin urmare punctele raţionale ale cercului nu se pot găsì decât printre punctele de intersecţie ale cercului cu dreptele raţionale cari trec prin M₀. Vreau însă să arăt că toate aceste puncte de intersecţie sunt raţionale.

Pentru aceasta, fie

(3)

o dreaptă raţională arbitrară care trece prin M₀, în care deci m este număr raţional. Eliminând pe y între (3) şi (2) căpătăm o ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi raţionali şi care are ca rădăcini abscisele punctelor de intersecţie ale dreptei (3) cu cercul (2), prin urmare neapărat pe x₀ şi încă altă valoare tot raţională. Abscisa a punctului al doilea de intersecţie fiind raţională, rezultă din (3) că şi ordonata sa e raţională şi atunci punctul acela e raţional. Aşà dar, orice dreaptă raţională dusă prin punctul raţional cunoscut M₀ ne mai determină un punct raţional al cercului şi, după cum arătarăm, aşà se obţin toate.

Insă pe cercul (2) avem punctul raţional . Cu ajutorul lui putem să aflăm prin urmare toate punctele raţionale ale cercului. Dar înnainte de a da formulele explicite, să mai facem o observare. Din cauza simetrii, ne putem mulţumì să aflăm punctele raţionale din unghiul pozitiv al axelor, adică pentru care . Atunci, dacă însemnăm cu B punctul de coordonate , şi cu AT tangenta în A la cerc, dreapta raţională arbitrară pe care o ducem prin punctul A trebue să fie cuprinsă în unghiul ascuţit BAT şi prin urmare coeficientul unghiular m din ecuaţia (3) trebue să fie un număr raţional cuprins între şi . Putem pune în (3) :

, ,

în care numerele întregi p şi q sunt pozitive, prime între ele şi şi avem :

Introducând această valoare a lui y în (2) şi suprimând soluţia , care ne dă din nou punctul A, găsim :

şi din deducem :

Avem prin urmare rezultatul următor : Toate numerele raţionale şi pozitive cari verifică ecuaţia (2) sunt date de formulele :

, ,

în care p, q sunt numere întregi şi pozitive, prime între ele şi .

2. Acum, după ce am rezolvat problema ajutătoare, să ne întoarcem la problema noastră. Şi mai întâi o observare. E evident că dacă X, Y, Z sunt soluţii ale problemei, şi kX, kY, kZ vor fi soluţii, k fiind un număr întreg arbitrar. E natural prin urmare să ne ocupăm numai de acele soluţii în care X, Y, Z sunt prime între ele, adică nu au nici un divizor comun. Acele soluţii verifică, din cele ce preced, următoarele egalităţi :

(4)

în care p şi q satisfac condiţiunilor enunţate mai înnainte. De oarece X, Y, Z trebuesc să fie numere întregi şi pentrucă p şi q sunt numere întregi, rezultă că în (4) valoarea comună k a celor trei rapoarte egale este un număr raţional. Se poate pune evident , a şi b fiind două numere întregi prime între ele şi atunci din (4) scoatem :

, ,

şi b va trebuì ales aşà ca X, Y, Z să fie numere întregi prime între ele. Insă b e prim cu a, deci trebueşte să dividă pe , 2pq şi . Rezultă atunci că a este un divizor comun numerelor întregi X, Y, Z şi, potrivit unei observări făcute, îl putem lăsà la o parte. Aşà dar avem :

, , .

Numărul întreg b este sau 1 sau, de se poate, un divizor comun al numerelor , 2pq, . Acest divizor comun este un divizor comun şi numerelor , , deci nu poate fi, dacă este, decât 2, căci p şi q fiind prime între ele şi p² şi q² vor fi prime între ele. Aşa dar avem sau .

Când vom aveà şi când ? Vom aveà , dacă şi sunt numere cu soţ, căci 2pq se divide evident cu 2. Vom aveà , când unul din numerele şi va fi fără soţ. Insă, în privinţa numerelor p şi q putem face numai două ipoteze : sau sunt amândouă fără soţ, sau numai unul e fără soţ. Amândouă cu soţ nu pot fi, căci ar urmà să nu fie prime între ele. In primul caz, când p şi q sunt fără soţ, atunci şi sunt cu soţ şi deci luăm :

, ,

şi se vede că X, Y, Z sunt întregi şi prime între ele.

In al doilea caz, când p şi q nu sunt amândouă fără soţ, şi sunt fără soţ şi atunci luăm :

, , .

Astfel am găsit toate soluţiunile în numere întregi ale ecuaţii :

G. Ţiţeica.

Traian Lalescu - Gazeta Matematică, nr. 11 din 1910

Asupra Pendulului lui Foucault

(Comunicare făcută la Soc. de Ştiinţe, Şedinţa de la 7 Iunie 1911)

1. In studiul mişcării pendulului lui Foucault, adică al mişcării unui pendul sferic, ţinând seama de mişcarea de rotaţie diurnă a pământului, se obţin ecuaţiunile generale bine cunoscute :

Aceste ecuaţii sunt dificile de integrat ; ele se înlocuesc prin ecuaţiile aproximative :

obţinute din primele în ipotesa . Ecuaţia treia ne dă în acest cas, cu multă aproximaţie, în mod direct .

Ecuaţiile (2) sunt supuse de obicei – în tratatele pe cari le cunosc eu cel puţin – unui calcul fastidios care are desavantajul că este şi aproximativ.

Imi propun să indic acì o metodă exactă care ne permite să terminăm, pe o cale mult mai lesnicioasă, această chestiune.

2. Dacă în ecuaţiile (2) ar lipsì termenii şi , ele ar reprezentà mişcarea bine cunoscută a unui punct atras de o forţă proporţională cu distanţa ; traectoria ar fi în acest cas o elipsă având centrul în origină. Să considerăm o asemenea mişcare pe o elipsă al cărei parametru de atracţie să fie în mod general k², şi să imprimăm elipsei o mişcare de rotaţie uniformă de vitesă unghiulară şi în sens retrograd. In acest cas avem o compunere de mişcări, aşà că acceleraţia mişcării ne este dată de formula lui Coriolis :

Insă acceleraţia relativă gr are drept compunătoare : , , 0 ; acceleraţia de târâre : , , 0 ; în sfârşit de oarece avem : , , compunătoarele acceleraţiei lui Coriolis vor fi : , .

Ecuaţiunile mişcării punctului de pe elipsă vor fi atunci :

Ecuaţiunile (3) sunt absolut de aceaşi formă ca ecuaţiunile (2) şi devin identice cu acestea dacă punem :

Prin urmare, mişcarea punctului se va face pe o elipsă, al cărei parametru de atracţie este perturbat de cantitatea ; la rândul său această elipsă e animată de o mişcare de rotaţie uniformă în jurul centrului său, în sens retrograd şi cu vitesa unghiulară .

Succesul acestei metode provine din faptul că acceleraţia de târâre are exact aceeaşi formă ca şi acceleraţia relativă.

După cum se vede, metoda precedentă ne arată că aproximaţia care se face de obicei în al doilea rând în această chestiune, aproximaţie care, după cum se vede nu este indispensabilă, nu atinge perioada mişcărei de rotaţie a elipsei, ci numai pe aceea a punctului depe elipsă.

Tr. Lalescu.

Dan Barbilian - Gazeta Matematică, nr. 11 din 1928

*LINIILE FRÂNTE ECHILATERE, INSCRISE UNUI ACELAŞ UNGHIU

Fie axele şi care se intersectează în O. Să considerăm vectorul , cu origina pe axa şi extremitatea pe . Se poate constatà uşor că orice alt vector , echipolentic cu şi având origina şi extremitatea pe aceleaşi axe, se confundă neapărat cu acesta.

Intr’adevăr, lăsând la o parte condiţia ca extremitatea B₁ să se găsească pe axa , locul ei geometric e o paralelă (unică) la , care taie pe în A₁. Deci, problema înscrierii într’un anumit unghiu, a unui segment echipolentic cu un segment dat, are o singură soluţie, ceeace justifică afirmarea făcută mai sus.

Aşà fiind, cu plecare dela segmentul A₀A₁, să construim o linie frântă A₀A₁A₂A₃A₄A₅....A_2n, cu vârfurile pare pe axa şi cele impare, pe axa , aşà încât :

Această construcţie se poate executà foarte uşor, cu compasul.

Să observăm că trecerea dela vectorul la vectorul se face printr’o simetrie faţă de o axă perpendiculară pe . Trecerea dela vectorul , la se face printr’o simetrie faţă de o altă axă, perpendiculară pe . Compunerea a două simetrii dă naştere la o rotaţie, de unghiu de două ori mai mare ca unghiul axelor de simetrie.

Fie unghiul pozitiv pe care axa îl face cu . Axele de simetrie, perpendiculare pe acestea, vor face între ele un unghi egal tot cu .

Conchidem deci că vectorul se duce din printr’o rotire de amplitudine (centrul de rotaţie nu ne interesează).

La fel se dovedeşte că se deduce din printr’o rotire de unghi ; sau, direct, din , după o rotire de unghi . Vectorul se deduce din după o rotire de unghi , etc.....

In general, vectorul , se deduce din vectorul iniţial după o rotire de unghi .

O condiţie necesară (fără a puteà spune deocamdată că e şi suficientă) ca linia noastră poligonală să se închidă după operaţia de rang 2n, e ca ultimul vector să devină echipolent cu primul, , adică amplitudinea să se reducă la un multiplu de . După cum vedem această condiţie se referă numai la unghiul celor două axe şi ; nicidecum la segmentul A₀A₁, dela care am început să înscriem linia poligonală.

Cevà mai mult : pentruca operaţia de rangul 2n să fie cea dintâi care aduce vectorul echipolent cu , trebuie şi este deajuns ca să fie o fracţiune ireductibilă, de numitor 2n dintr’o semicircumferinţă, adică

unde m şi n sunt prime între ele.

Dar această condiţie, necesară pentru închiderea construcţiei este şi suficientă, în virtutea observaţiei făcute la început, anume că doi vectori şi echipolenţi şi înscrişi în acelaş unghi, se confundă.

Avem prin urmare următoarea propoziţie :

Unghiurile egale cu o fracţiune ireductibilă, de numitor n, dintr’un semicerc, sunt singurele capabile de un poligon echilater de 2n laturi înscris în unghi. Una din laturile poligonului poate fi aleasă după voie, toate celelalte se deduc succesiv printr’o construcţie uşoară, cu ajutorul compasului.

* *

Exemplul cel mai simplu de unghi capabil de un poligon echilater este, evident, acela care corespunde cazului

adică unghiului drept. E clar că într’un astfel de unghi se pot înscrie o infinitate de romburi de latură arbitrară.

Imediat următor e cazul unghiului de 60° :

Problema înscrierii unui exagon echilater de latură arbitrară, într’un unghi de 60° a fost propusă anul acesta la concursul G. M. (teza de Geometrie, cl. IV). Demonstraţia se poate face, pentru acest caz, pe cale cu totul elementară.

Pentru a precizà, să presupunem că în triunghiul A₀OA₁, unghiul din A₀ e mai mic ca unghiul din A₁ ; se vede numai decât că avem atunci :

După o teoremă cunoscută (la unghiul mai mare se opune latura mai mare) avem :

Această neegalitate arată că oblica A₂O e mai scurtă decât oblicele egale A₁A₀ şi A₁A₂ ; deci punctul O vine între A₁ şi A₂. Din aproape în aproape, prin raţionamente echivalente, se demonstrează că punctul O este interior segmentului A₁A₃ ; exterior, lui A₂A₄ ; iarăşi interior, lui A₃A₅ ; interior de asemenea lui A₄A₆.

Fie acum A₁P perpendiculara din A₁ pe şi oblica egală cu A₁O. Se vede numai decât că triunghiul e echilateral. Pe de altă parte triunghiurile OA₁A₂ şi sunt simetrice faţă de A₁P, deci egale. Prin urmare

Avem egalitatea următoare, urmată de alte patru egalităţi, deduse pe aceeaşi cale :

Comparând aceste egalităţi scoatem imediat

Dar s’a observat că A₀ şi A₆ vin pe aceeaşi axă şi de aceeaşi parte faţă de O ; aşà dar coincid.

Q. E. D.

* *

Această problemă, în cazul ei general, am propus-o la Cercul de Geometrie Elementară al studenţilor în matematici, anul I. Domnul G. Theiler a dat problemei o soluţie ingenioasă, însă necomplectă.

Domnul Profesor Ţiţeica mi-a atras atenţia că problema subsistă şi în cazul a două axe şi arbitrare, în spaţiu.

Această proprietate a unghiului a cărui valoare e o fracţiune raţională dintr’o semicircumferinţă am găsit-o întâi pe o altă cale, care poate prezentà interes întrucât leagă această chestiune elementară de teoreme de închidere mai complicate.

Fie segmentul A₀A₁ de lungime dată l, care se sprijină în mişcarea lui pe axele şi de unghi . Insemnând cu x şi y abscisele şi , avem legătura :