Traian Lalescu - Gazeta Matematică, nr. 11 din 1910

Asupra Pendulului lui Foucault

(Comunicare făcută la Soc. de Ştiinţe, Şedinţa de la 7 Iunie 1911)

1. In studiul mişcării pendulului lui Foucault, adică al mişcării unui pendul sferic, ţinând seama de mişcarea de rotaţie diurnă a pământului, se obţin ecuaţiunile generale bine cunoscute :

Aceste ecuaţii sunt dificile de integrat ; ele se înlocuesc prin ecuaţiile aproximative :

obţinute din primele în ipotesa . Ecuaţia treia ne dă în acest cas, cu multă aproximaţie, în mod direct .

Ecuaţiile (2) sunt supuse de obicei – în tratatele pe cari le cunosc eu cel puţin – unui calcul fastidios care are desavantajul că este şi aproximativ.

Imi propun să indic acì o metodă exactă care ne permite să terminăm, pe o cale mult mai lesnicioasă, această chestiune.

2. Dacă în ecuaţiile (2) ar lipsì termenii şi , ele ar reprezentà mişcarea bine cunoscută a unui punct atras de o forţă proporţională cu distanţa ; traectoria ar fi în acest cas o elipsă având centrul în origină. Să considerăm o asemenea mişcare pe o elipsă al cărei parametru de atracţie să fie în mod general k2, şi să imprimăm elipsei o mişcare de rotaţie uniformă de vitesă unghiulară şi în sens retrograd. In acest cas avem o compunere de mişcări, aşà că acceleraţia mişcării ne este dată de formula lui Coriolis :

.

Insă acceleraţia relativă gr are drept compunătoare : , , 0 ; acceleraţia de târâre : , , 0 ; în sfârşit de oarece avem : , , compunătoarele acceleraţiei lui Coriolis vor fi : , .

Ecuaţiunile mişcării punctului de pe elipsă vor fi atunci :

Ecuaţiunile (3) sunt absolut de aceaşi formă ca ecuaţiunile (2) şi devin identice cu acestea dacă punem :

.

Prin urmare, mişcarea punctului se va face pe o elipsă, al cărei parametru de atracţie este perturbat de cantitatea  ; la rândul său această elipsă e animată de o mişcare de rotaţie uniformă în jurul centrului său, în sens retrograd şi cu vitesa unghiulară .

Succesul acestei metode provine din faptul că acceleraţia de târâre are exact aceeaşi formă ca şi acceleraţia relativă.

După cum se vede, metoda precedentă ne arată că aproximaţia care se face de obicei în al doilea rând în această chestiune, aproximaţie care, după cum se vede nu este indispensabilă, nu atinge perioada mişcărei de rotaţie a elipsei, ci numai pe aceea a punctului depe elipsă.

Tr. Lalescu.